8. Хорды AB и CD пересекаются в точке F так, что AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Найдите CD.

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дано:

• Хорда AB, \( AF = 4 \) см, \( BF = 16 \) см.
• Хорда CD, \( CF = DF \).

По условию \( CF = DF \), значит, точка \( F \) является серединой хорды \( CD \).

Длина хорды \( AB = AF + BF = 4 + 16 = 20 \) см.

По теореме о пересекающихся хордах:

\[ AF \cdot BF = CF \cdot DF \]

Так как \( CF = DF \), обозначим \( CF = DF = x \).

\[ 4 \cdot 16 = x \cdot x \]\[ 64 = x^2 \]\[ x = \sqrt{64} \]\[ x = 8 \]

Значит, \( CF = 8 \) см и \( DF = 8 \) см.

Длина хорды \( CD = CF + DF = 8 + 8 = 16 \) см.

Ответ: 16 см.