8. Дана таблица значений. Определить: моду, медиану, мат.ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение и построить график.

Решение:

Данные таблицы:

1. Мода:

Мода — это значение, которое встречается чаще всего. В данном случае, значения \( x \) не повторяются, но частота \( p \) имеет повторяющиеся значения. Наибольшая частота — \( 0,2 \), которая соответствует двум значениям \( x \): \( 4 \) и \( 5 \). В таком случае, модами являются оба этих значения.

2. Медиана:

Для нахождения медианы, сначала упорядочим значения \( x \) по возрастанию и соответствующие им вероятности \( p \). Если бы значения \( x \) были уникальны, а \( p \) — частоты, то мы бы искали значение \( x \) в середине.

У нас есть следующие пары (x, p): (0.1, 1), (0.4, 2), (0.1, 3), (0.2, 4), (0.2, 5). Обратим внимание, что \( p \) — это, скорее всего, частоты или вероятности, а \( x \) — значения случайной величины. Значения \( x \) повторяются (0.1 и 0.2). Просуммируем частоты для одинаковых \( x \).

Пересоберем таблицу данных, где \( x \) — значения, а \( p \) — их суммарные частоты/вероятности:

Значения \( x \) : 0.1, 0.4, 0.1, 0.2, 0.2

Суммируем частоты для одинаковых значений \( x \):

• \( x = 0.1 \): частота = 1 + 3 = 4
• \( x = 0.2 \): частота = 4 + 5 = 9
• \( x = 0.4 \): частота = 2

Теперь у нас есть следующие пары (значение, частота): (0.1, 4), (0.2, 9), (0.4, 2). Общая сумма частот: \( 4 + 9 + 2 = 15 \).

Чтобы найти медиану, найдем значение \( x \), соответствующее \( \frac{15+1}{2} = 8 \)-й позиции.

3. Математическое ожидание ( \( M(X) \) ):

\[ M(X) = \sum (x_i \cdot p_i) \]

\[ M(X) = (0.1 \cdot 4) + (0.2 \cdot 9) + (0.4 \cdot 2) \]

\[ M(X) = 0.4 + 1.8 + 0.8 = 3.0 \]

4. Дисперсия ( \( D(X) \) ):

\[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]

Сначала найдем \( M(X^2) \):

\[ M(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot p_i) \]

\[ M(X^2) = (0.1^2 \cdot 4) + (0.2^2 \cdot 9) + (0.4^2 \cdot 2) \]

\[ M(X^2) = (0.01 \cdot 4) + (0.04 \cdot 9) + (0.16 \cdot 2) \]

\[ M(X^2) = 0.04 + 0.36 + 0.32 = 0.72 \]

Теперь найдем дисперсию:

\[ D(X) = 0.72 - (3.0)^2 = 0.72 - 9 = -8.28 \]

Примечание: Получение отрицательной дисперсии свидетельствует о некорректном понимании исходных данных таблицы или об ошибке в расчетах. Если \( p \) — это вероятности, то их сумма должна быть равна 1. В данном случае сумма \( 0.1 + 0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 1.0 \), что корректно. Однако, если \( x \) — значения, а \( p \) — частоты, то \( M(X) \) и \( D(X) \) рассчитываются иначе. Если \( p \) — это абсолютные частоты, то их сумма должна быть равна общему числу наблюдений, а для расчета мат. ожидания и дисперсии нужно использовать относительные частоты. Предположим, что \( p \) — это относительные частоты.

Пересчитаем с учетом того, что \( p \) — это относительные частоты, и \( x \) — значения случайной величины:

Уточненные расчеты (предполагая \( p \) — относительные частоты):

1. Мода:

Находим значение \( x \) с наибольшей частотой \( p \). Наибольшая частота \( 0.4 \) соответствует \( x = 2 \). Однако, если значения \( x \) — это ряды, а \( p \) — другие значения, то нужно смотреть на частоту повторения \( x \). В исходной таблице, \( x=0.1 \) повторяется 2 раза, \( x=0.2 \) — 2 раза, \( x=0.4 \) — 1 раз. Максимальная частота повторения \( x \) — 2, соответствующая \( x=0.1 \) и \( x=0.2 \). Следовательно, моды — 0.1 и 0.2.

2. Медиана:

Упорядочим значения \( x \) и соответствующие им \( p \):

\( x \): 0.1 (p=1), 0.1 (p=3) → суммарная p = 4

\( x \): 0.2 (p=4), 0.2 (p=5) → суммарная p = 9

\( x \): 0.4 (p=2) → суммарная p = 2

Общая сумма частот = 4 + 9 + 2 = 15. Среднее значение = 15 / 2 = 7.5. 7.5-е значение попадает в группу с \( x=0.2 \), так как суммарная частота для \( x=0.1 \) равна 4, а для \( x=0.2 \) — 4 + 9 = 13. Медиана = 0.2.

3. Математическое ожидание ( \( M(X) \) ):

\[ M(X) = (0.1 × 4) + (0.2 × 9) + (0.4 × 2) = 0.4 + 1.8 + 0.8 = 3.0 \]

4. Дисперсия ( \( D(X) \) ):

\( M(X^2) = (0.1^2 × 4) + (0.2^2 × 9) + (0.4^2 × 2) = (0.01 × 4) + (0.04 × 9) + (0.16 × 2) = 0.04 + 0.36 + 0.32 = 0.72 \)

\[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 0.72 - (3.0)^2 = 0.72 - 9 = -8.28 \]

Снова получаем отрицательную дисперсию. Вероятно, \( p \) — это не частоты, а сами значения случайной величины, а \( x \) — это их частоты. Давайте попробуем интерпретировать так:

Интерпретация 2: \( x \) — частоты, \( p \) — значения

Значения \( X \): 1, 2, 3, 4, 5

Частоты \( F \): 0.1, 0.4, 0.1, 0.2, 0.2

Сумма частот: \( 0.1 + 0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 1.0 \). Это корректные вероятности.

1. Мода:

Значение \( X \), соответствующее наибольшей частоте. Наибольшая частота — \( 0.4 \), соответствует \( X = 2 \). Мода = 2.

2. Медиана:

Упорядочим значения \( X \) по возрастанию:

\( X \): 1 (p=0.1), 2 (p=0.4), 3 (p=0.1), 4 (p=0.2), 5 (p=0.2)

Находим значение, соответствующее середине (сумма вероятностей = 1.0, середина = 0.5).

• \( X=1 \): вероятность = 0.1
• \( X=1, 2 \): суммарная вероятность = 0.1 + 0.4 = 0.5

Медиана — значение, после которого суммарная вероятность достигает 0.5. В данном случае, это значение 2, но так как 0.5 — это точное значение, то медиана находится между 2 и 3. По правилам, если накопленная вероятность ровно 0.5, то медиана — это среднее между этим значением и следующим. Медиана = \( (2+3)/2 = 2.5 \).

3. Математическое ожидание ( \( M(X) \) ):

\[ M(X) = \sum (X_i \cdot P(X_i)) \]

\[ M(X) = (1 \cdot 0.1) + (2 \cdot 0.4) + (3 \cdot 0.1) + (4 \cdot 0.2) + (5 \cdot 0.2) \]

\[ M(X) = 0.1 + 0.8 + 0.3 + 0.8 + 1.0 = 3.0 \]

4. Дисперсия ( \( D(X) \) ):

\[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]

Сначала найдем \( M(X^2) \):

\[ M(X^2) = \sum (X_i^2 \cdot P(X_i)) \]

\[ M(X^2) = (1^2 \cdot 0.1) + (2^2 \cdot 0.4) + (3^2 \cdot 0.1) + (4^2 \cdot 0.2) + (5^2 \cdot 0.2) \]

\[ M(X^2) = (1 \cdot 0.1) + (4 \cdot 0.4) + (9 \cdot 0.1) + (16 \cdot 0.2) + (25 \cdot 0.2) \]

\[ M(X^2) = 0.1 + 1.6 + 0.9 + 3.2 + 5.0 = 10.8 \]

Теперь найдем дисперсию:

\[ D(X) = 10.8 - (3.0)^2 = 10.8 - 9.0 = 1.8 \]

5. Среднеквадратическое отклонение ( \( \sigma(X) \) ):

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1.8} \approx 1.3416 \]

6. Построение графика (гистограммы):

График будет представлять собой столбчатую диаграмму, где по оси абсцисс отложены значения \( X \), а по оси ординат — соответствующие вероятности \( p \).

Ответ: Мода = 2; Медиана = 2.5; Математическое ожидание = 3.0; Дисперсия = 1.8; Среднеквадратическое отклонение \( \approx 1.34 \).