7. Вычислите определенный интеграл: а) \(\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2dx}{\pi \cos^2 x}\); б) \(\int_{0}^{1} (x^2+2)dx\)

Решение:

а) \(\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2dx}{\pi \cos^2 x}\)

1. Вынесем константу за знак интеграла: \( \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{\cos^2 x} dx \).
2. Найдем первообразную для \( \frac{1}{\cos^2 x} \), которая равна \( \operatorname{tg} x \).
3. Вычислим определенный интеграл: \( \frac{2}{\pi} [\operatorname{tg} x]_{-\pi}^{\pi} \).
4. \( \operatorname{tg} x \) — периодическая функция с периодом \( \pi \). Значение \( \operatorname{tg} x \) в точках \( \pi \) и \( -\pi \) равно 0.
5. \( \frac{2}{\pi} (\operatorname{tg} \pi - \operatorname{tg} (-\pi)) = \frac{2}{\pi} (0 - 0) = 0 \).

б) \(\int_{0}^{1} (x^2+2)dx\)

1. Найдем первообразную для \( x^2+2 \): \( \frac{x^3}{3} + 2x \).
2. Вычислим определенный интеграл: \( \left[\frac{x^3}{3} + 2x\right]_0^1 \).
3. Подставим верхний предел: \( \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3} \).
4. Подставим нижний предел: \( \frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0 = 0 \).
5. Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего: \( \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} \).

Ответ: а) 0; б) \(\frac{7}{3}\).