8. (2 балла) Решите уравнение (2x - 3)√3x² - 5x-2=0

Решение:

Уравнение \( (2x - 3)\sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0 \) равносильно совокупности двух уравнений:

1. \( 2x - 3 = 0 \) или \( \sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0 \)
2. Решим первое уравнение: \( 2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \).
3. Решим второе уравнение: \( \sqrt{3x^2 - 5x - 2} = 0 \)

Возведем обе части в квадрат:

\( 3x^2 - 5x - 2 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)

1. Теперь необходимо проверить, попадают ли найденные корни в область определения квадратного корня, т.е. \( 3x^2 - 5x - 2 \ge 0 \).
2. Для \( x = \frac{3}{2} = 1.5 \): \( 3(1.5)^2 - 5(1.5) - 2 = 3(2.25) - 7.5 - 2 = 6.75 - 7.5 - 2 = -2.75 < 0 \). Следовательно, \( x = \frac{3}{2} \) не является корнем.
3. Для \( x = 2 \): \( 3(2)^2 - 5(2) - 2 = 3(4) - 10 - 2 = 12 - 10 - 2 = 0 \). Следовательно, \( x = 2 \) является корнем.
4. Для \( x = -\frac{1}{3} \): \( 3(-\frac{1}{3})^2 - 5(-\frac{1}{3}) - 2 = 3(\frac{1}{9}) + \frac{5}{3} - 2 = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} - \frac{6}{3} = \frac{1+5-6}{3} = 0 \). Следовательно, \( x = -\frac{1}{3} \) является корнем.

Ответ: x = 2, x = -1/3