8. (1 балл) Решите уравнение: Log₇(4x+1) = 2

Решение:

1. Переведём логарифмическое уравнение в показательное. По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
2. В нашем случае \( a = 7 \), \( b = 4x+1 \), \( c = 2 \).
3. Следовательно, \( 7^2 = 4x+1 \).
4. Вычислим \( 7^2 \): \( 49 = 4x+1 \).
5. Решим полученное линейное уравнение: \( 4x = 49 - 1 \)
6. \( 4x = 48 \)
7. \( x = \frac{48}{4} \)
8. \( x = 12 \).
9. Проверим ОДЗ: \( 4x+1 > 0 \). При \( x = 12 \): \( 4 \cdot 12 + 1 = 48 + 1 = 49 > 0 \). Условие выполняется.

Ответ: x = 12.