8. (1 балл) Решите уравнение: $$\log_4 (2x-4) = 3$$

Решение:

1. Воспользуемся определением логарифма: если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
2. В нашем случае \( a=4 \), \( b=2x-4 \), \( c=3 \).
3. Запишем уравнение в показательной форме: \( 4^3 = 2x-4 \)
4. Вычислим \( 4^3 \): \( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64 \).
5. Получаем уравнение: \( 64 = 2x-4 \)
6. Решим полученное линейное уравнение: \( 64+4 = 2x \)
7. \( 68 = 2x \)
8. \( x = \frac{68}{2} \)
9. \( x = 34 \)
10. Проверим ОДЗ (область допустимых значений): выражение под логарифмом должно быть положительным. \( 2x-4 > 0 \) → \( 2x > 4 \) → \( x > 2 \). Наше решение \( x=34 \) удовлетворяет этому условию.

Ответ: 34.