6. (1 балл) Решите неравенство: $$4^{5x+1} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^x$$

Решение:

1. Приведем обе части неравенства к одному основанию. Удобно взять основание 2: \( 4 = 2^2 \) и \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \).
2. Подставим в неравенство: \( (2^2)^{5x+1} \ge (2^{-1})^x \)
3. Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m\cdot n} \): \( 2^{2\cdot(5x+1)} \ge 2^{-1\cdot x} \)
4. \( 2^{10x+2} \ge 2^{-x} \)
5. Так как основание \( 2 > 1 \), показатель степени большего основания должен быть больше или равен показателю меньшего основания: \( 10x+2 \ge -x \)
6. Решим полученное линейное неравенство: \( 10x+x \ge -2 \)
7. \( 11x \ge -2 \)
8. \( x \ge -\frac{2}{11} \)

Ответ: $$x \ge -\frac{2}{11}$$.