78. 3. Вычислите: log₇ 49√7

Решение:

Воспользуемся свойствами логарифмов:

1. Логарифм произведения: \( \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \).


2. Логарифм степени: \( \log_a b^n = n \log_a b \).


3. Основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).

Запишем \( 49\sqrt{7} \) в виде степени с основанием 7:

\[ 49\sqrt{7} = 7^2 \cdot 7^{1/2} = 7^{2 + 1/2} = 7^{5/2} \]

Теперь вычислим логарифм:

\[ \log_7 (49\sqrt{7}) = \log_7 (7^{5/2}) \]

По свойству логарифма степени:

\[ \log_7 (7^{5/2}) = \frac{5}{2} \log_7 7 = \frac{5}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2} \]

Ответ: \( \frac{5}{2} \).