75. 50 Найдите площадь криволинейной трапеции: y = 2x^2, y = 0; x = -1; x = 1

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = 2x^2 \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = -1 \) и \( x = 1 \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{-1}^{1} 2x^2 dx \]

Так как функция \( y = 2x^2 \) является чётной, интеграл можно вычислить как:

\[ S = 2 \int_{0}^{1} 2x^2 dx = 4 \int_{0}^{1} x^2 dx \]

Найдем первообразную:

\[ 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ 4 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 4 \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{4}{3} \]

Ответ: \( \frac{4}{3} \).