71. 46 Вычислите интеграл: \( \int_{1}^{4} \left( \frac{4}{x^2} + 2x - 3x^2 \right) dx \)

Решение:

Вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{1}^{4} \left( \frac{4}{x^2} + 2x - 3x^2 \right) dx = \int_{1}^{4} \left( 4x^{-2} + 2x - 3x^2 \right) dx \]

Найдем первообразную:

\[ \left[ 4 \frac{x^{-1}}{-1} + 2 \frac{x^2}{2} - 3 \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4} = \left[ -4x^{-1} + x^2 - x^3 \right]_{1}^{4} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ \left( -\frac{4}{4} + 4^2 - 4^3 \right) - \left( -\frac{4}{1} + 1^2 - 1^3 \right) \]

Рассчитаем значения:

\[ \left( -1 + 16 - 64 \right) - \left( -4 + 1 - 1 \right) \]

\( (-49) - (-4) = -49 + 4 = -45 \)

Ответ: -45.