70. 45 Найдите первообразную, график которой проходит через точку А: f(x) = 1/x^2 - 10x^4 + 3; A(1;5)

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = \frac{1}{x^2} - 10x^4 + 3 \), проинтегрируем её:

\[ F(x) = \int \left( \frac{1}{x^2} - 10x^4 + 3 \right) dx \]\[ F(x) = \int x^{-2} dx - 10 \int x^4 dx + \int 3 dx \]\[ F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} - 10 \frac{x^5}{5} + 3x + C \]\[ F(x) = -\frac{1}{x} - 2x^5 + 3x + C \]

Теперь найдём константу \( C \), используя условие, что график проходит через точку \( A(1;5) \), то есть \( F(1) = 5 \):

\[ 5 = -\frac{1}{1} - 2(1)^5 + 3(1) + C \]\[ 5 = -1 - 2 + 3 + C \]\[ 5 = 0 + C \]\[ C = 5 \]

Таким образом, первообразная имеет вид:

\[ F(x) = -\frac{1}{x} - 2x^5 + 3x + 5 \]

Ответ: \( F(x) = -\frac{1}{x} - 2x^5 + 3x + 5 \).