7) y = (x^3 + 1) · √ x

Задание 7

Найдем производную функции \( y = (x^3 + 1) · √ x \). Для этого сначала представим \( √ x \) как \( x^{1/2} \).

Функция теперь выглядит так: \( y = (x^3 + 1) · x^{1/2} \).

Можно раскрыть скобки, чтобы упростить: \( y = x^3 · x^{1/2} + 1 · x^{1/2} = x^{3 + 1/2} + x^{1/2} = x^{7/2} + x^{1/2} \).

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = n · x^{n-1} \):

\[ y' = (x^{7/2})' + (x^{1/2})' \]

\[ y' = \frac{7}{2} x^{7/2 - 1} + \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} \]

\[ y' = \frac{7}{2} x^{5/2} + \frac{1}{2} x^{-1/2} \]

Вернемся к корням и положительным степеням:

\[ y' = \frac{7}{2} x^2 · √ x + \frac{1}{2 √ x} \]

Или, если привести к общему знаменателю:

\[ y' = \frac{7x^2 · x}{2x · √ x} + \frac{1}{2 √ x} = \frac{7x^3}{2x√ x} + \frac{1}{2√ x} = \frac{7x^3+1}{2x√ x} \]

Ответ: \( y' = \frac{7}{2} x^{5/2} + \frac{1}{2} x^{-1/2} \) или \( y' = \frac{7}{2} x^2√ x + \frac{1}{2√ x} \).