12) y = (5sin x)/x

Задание 12

Найдем производную функции \( y = \frac{5·sin x}{x} \). Используем правило дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u' · v - u · v'}{v^2} \).

Пусть \( u = 5·sin x \) и \( v = x \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (5·sin x)' = 5 · (sin x)' = 5 · cos x \)
• \( v' = (x)' = 1 \)

Подставим в формулу:

\[ y' = \frac{(5 · cos x) · x - (5·sin x) · 1}{x^2} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ y' = \frac{5x · cos x - 5·sin x}{x^2} \]

Вынесем общий множитель 5 из числителя:

\[ y' = \frac{5(x · cos x - sin x)}{x^2} \]

Ответ: \( y' = \frac{5(x · cos x - sin x)}{x^2} \).