11) y = x^4/(2x^2+5)

Задание 11

Найдем производную функции \( y = \frac{x^4}{2x^2+5} \). Для этого используем правило дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u' · v - u · v'}{v^2} \).

Пусть \( u = x^4 \) и \( v = 2x^2+5 \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (x^4)' = 4x^3 \)
• \( v' = (2x^2+5)' = 4x \)

Подставим в формулу:

\[ y' = \frac{(4x^3) · (2x^2+5) - x^4 · (4x)}{(2x^2+5)^2} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ y' = \frac{8x^5 + 20x^3 - 4x^5}{(2x^2+5)^2} \]

Приведем подобные слагаемые в числителе:

\[ y' = \frac{4x^5 + 20x^3}{(2x^2+5)^2} \]

Можно вынести общий множитель \( 4x^3 \) из числителя:

\[ y' = \frac{4x^3(x^2 + 5)}{(2x^2+5)^2} \]

Ответ: \( y' = \frac{4x^5 + 20x^3}{(2x^2+5)^2} \) или \( y' = \frac{4x^3(x^2 + 5)}{(2x^2+5)^2} \).