7) Вычислить предел функции в точке

Решение:

Для вычисления предела функции \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x} \) подставим \( x = 3 \) в числитель и знаменатель:

Числитель: \( 3^2 - 6 \cdot 3 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0 \)

Знаменатель: \( 3^2 - 3 \cdot 3 = 9 - 9 = 0 \)

Так как мы получили неопределённость вида \( \frac{0}{0} \), разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: \( x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \)

Знаменатель: \( x^2 - 3x = x(x - 3) \)

Теперь перепишем предел:

\( \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)^2}{x(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x} \)

Подставим \( x = 3 \) в упрощённое выражение:

\( \frac{3 - 3}{3} = \frac{0}{3} = 0 \)

Ответ: 4) 0.