7. В ромбе ABCD диагональ AC пересекает высоту BH, проведенную к стороне AD, в точке К. Найдите длины отрезков BK и KH, если сторона ромба равна 20 см, а высота равна 12 см.

Решение:

В ромбе ABCD сторона AB = AD = 20 см. Высота BH = 12 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдём AH:

\[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \]\[ AH^2 + 12^2 = 20^2 \]\[ AH^2 + 144 = 400 \]\[ AH^2 = 400 - 144 \]\[ AH^2 = 256 \]\[ AH = \sqrt{256} \]\[ AH = 16 \] см.

В ромбе противолежащие углы равны, а диагонали являются биссектрисами углов. Диагональ AC делит угол BAD пополам.

Рассмотрим треугольники ABK и ADK. У них:

• AB = AD (стороны ромба)
• AK — общая сторона
• \(\angle BAK = \angle DAK\) (AC — биссектриса \(\angle BAD\))

Следовательно, треугольники ABK и ADK равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что BK = KH.

Так как BH = BK + KH, а BK = KH, то BH = 2 * BK.

\[ 12 \text{ см} = 2 \cdot BK \]\[ BK = \frac{12 \text{ см}}{2} \]\[ BK = 6 \] см.

Так как BK = KH, то KH = 6 см.

Ответ: BK = 6 см, KH = 6 см.