7. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна 4√2. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

Решение:

Объем прямой призмы вычисляется по формуле: V = S_осн * h, где S_осн — площадь основания, а h — высота призмы.

1. Находим второй катет прямоугольного треугольника:

   По теореме Пифагора: a² + b² = c², где a и b — катеты, c — гипотенуза.

   Пусть один катет (a) = 4, гипотенуза (c) = 4\(\sqrt{2}\).

   4² + b² = (4\(\sqrt{2}\))²

   16 + b² = 16 * 2

   16 + b² = 32

   b² = 32 - 16

   b² = 16

   b = \(\sqrt{16}\) = 4.

   Второй катет равен 4. Таким образом, треугольник является равнобедренным прямоугольным.

2. Находим площадь основания:

   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

   S_осн = \(\frac{1}{2}\) * 4 * 4 = \(\frac{1}{2}\) * 16 = 8 квадратных единиц.

3. Находим объём призмы:

   Высота призмы h = 3.

   V = S_осн * h = 8 * 3 = 24 кубических единиц.

Ответ: 24