2. Плоскость, проходящая через точки А, В и С (см. рис.), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с меньшим числом рёбер?

Решение:

Рассмотрим правильную треугольную призму. Плоскость, проходящая через точки А, В и С (где А и В - вершины одного основания, С - вершина другого основания), разрезает призму на два многогранника.

Один из получившихся многогранников будет иметь:

• 3 грани от боковых граней исходной призмы.
• 1 грань от верхнего основания исходной призмы.
• 1 грань — сечение, образованное плоскостью (АВС).

Итого: 3 + 1 + 1 = 5 граней.

У этого многогранника будет 9 рёбер.

Другой многогранник будет иметь:

• 3 грани от боковых граней исходной призмы.
• 1 грань от нижнего основания исходной призмы.
• 1 грань — сечение (АВС).

Итого: 3 + 1 + 1 = 5 граней.

У этого многогранника будет 9 рёбер.

Однако, если точки А, В, С расположены так, что образуют сечение, которое отсекает только часть призмы, то получившиеся многогранники могут иметь разное число граней и рёбер.

Предположим, что плоскость проходит через две вершины одного основания и одну вершину другого основания. В этом случае, мы отсекаем треугольную призму, у которой 5 граней (2 треугольных и 3 прямоугольных) и 9 ребер.

Если же плоскость проходит через три вершины, например, две вершины нижнего основания и одну верхнего, то мы отсекаем многогранник, который будет являться треугольной призмой. Эта призма будет иметь 5 граней (2 основания и 3 боковых грани) и 9 ребер.

Если же плоскость проходит через одну вершину нижнего основания и две вершины верхнего основания, то мы отсекаем также многогранник с 5 гранями и 9 ребрами.

В случае, если плоскость проходит через вершины А, В (нижнего основания) и С (верхнего основания), то получается многогранник с 5 гранями (два треугольника и три прямоугольника).

Ответ: 5