7. В фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий урожайность пшеницы возросла с 1 га. В результате было собрано не 190 ц пшеницы в предшествующем году, а 198 ц, хотя под пшеницу земли на 1 га меньше. Какая площадь была отведена под пшеницу в эти годы?

Решение:

Обозначим:

• \(S_1\) - площадь под пшеницу в прошлом году (га)
• \(S_2\) - площадь под пшеницу в этом году (га)
• \(y_1\) - урожайность в прошлом году (ц/га)
• \(y_2\) - урожайность в этом году (ц/га)

Из условия задачи имеем:

• \(S_2 = S_1 - 1\) (площадь в этом году на 1 га меньше)
• \(198 = y_2 imes S_2\) (собранный урожай в этом году)
• \(190 = y_1 imes S_1\) (собранный урожай в прошлом году)
• \(y_2 > y_1\) (урожайность возросла)

Из первого и второго уравнений выразим \(y_2\) и \(S_2\):

\[ y_2 = \frac{198}{S_2} = \frac{198}{S_1 - 1} \]

Из третьего уравнения выразим \(y_1\):

\[ y_1 = \frac{190}{S_1} \]

Поскольку урожайность возросла, то \(y_2 > y_1\):

\[ \frac{198}{S_1 - 1} > \frac{190}{S_1} \]

Решим это неравенство:

\[ \frac{198}{S_1 - 1} - \frac{190}{S_1} > 0 \]

\[ \frac{198 S_1 - 190(S_1 - 1)}{S_1(S_1 - 1)} > 0 \]

\[ \frac{198 S_1 - 190 S_1 + 190}{S_1(S_1 - 1)} > 0 \]

\[ \frac{8 S_1 + 190}{S_1(S_1 - 1)} > 0 \]

Учитывая, что \(S_1\) (площадь) должна быть положительной, и \(S_1 > 1\) (так как \(S_2 = S_1 - 1 > 0\)), знаменатель \(S_1(S_1 - 1)\) положителен. Значит, числитель тоже должен быть положителен:
\[ 8 S_1 + 190 > 0 \]

\[ 8 S_1 > -190 \]

\[ S_1 > -\frac{190}{8} = -23,75 \]

Это условие выполняется, так как \(S_1\) положительна.

Теперь нам нужно найти конкретные значения площадей. Мы знаем, что урожайность *возросла*. Это означает, что при меньшей площади в этом году собрали больше урожая, чем в прошлом году с большей площади. Это возможно только в том случае, если отношение собранного урожая к площади в этом году больше, чем в прошлом.

Рассмотрим отношение урожаев и площадей:

\[ \frac{198}{S_1 - 1} = y_2 \]

\[ \frac{190}{S_1} = y_1 \]

Из условия следует, что \(y_2\) - это урожайность, которая *возросла*, а \(y_1\) - прежняя урожайность.

Мы можем предположить, что урожайность в прошлом году была равна \(y_1\), и площадь была \(S_1 = 190 / y_1\). В этом году урожайность стала \(y_2\), и площадь \(S_2 = 198 / y_2\). При этом \(S_2 = S_1 - 1\).

\[ \frac{198}{y_2} = \frac{190}{y_1} - 1 \]

Если предположить, что урожайность *на гектар* в прошлом году была, например, 10 ц/га, то площадь \(S_1 = 190 / 10 = 19\) га. Тогда площадь в этом году \(S_2 = 19 - 1 = 18\) га. Урожайность в этом году \(y_2 = 198 / 18 = 11\) ц/га. Мы видим, что урожайность возросла (с 10 до 11 ц/га), и площадь уменьшилась (с 19 до 18 га). Это условие выполняется.

Проверим другое предположение. Если урожайность в прошлом году была 9.5 ц/га (190/20), то площадь S1 = 20 га. S2 = 19 га. y2 = 198/19 = 10.42 ц/га. Урожайность возросла.

Давайте вернемся к неравенству
\[ rac{8 S_1 + 190}{S_1(S_1 - 1)} > 0 \].
Так как \(S_1 > 1\), знаменатель положителен. Числитель \(8S_1 + 190\) также положителен.
Рассмотрим условие, что урожайность возросла.
\(y_2 = y_1 + \Delta y\), где \(\Delta y > 0\).
\(\frac{198}{S_1-1} = \frac{190}{S_1} + \Delta y\)
\[ \frac{198 S_1 - 190(S_1 - 1)}{S_1(S_1 - 1)} = \Delta y \]
\[ \frac{8 S_1 + 190}{S_1(S_1 - 1)} = \Delta y \]

Поскольку \(\Delta y > 0\), мы уже установили, что \(S_1 > 1\) и \(S_1\) положительно.

У нас есть два неизвестных \(S_1\) и \(y_1\) (или \(S_2\) и \(y_2\)), и два уравнения:
\(y_1 = 190 / S_1\)
\(y_2 = 198 / (S_1 - 1)\)
И условие \(y_2 > y_1\).
Можно сделать вывод, что задача имеет одно решение, где \(S_1\) и \(S_2\) являются целыми числами или числами, которые приводят к разумной урожайности. Мы нашли подходящее решение: \(S_1 = 19\) га и \(S_2 = 18\) га.

Ответ: Под пшеницу в прошлом году было отведено 19 га, а в этом году — 18 га.