7 Упростите выражение ( \( \frac{6a}{a^2 - b^2} - \frac{2}{a+b} + \frac{3}{b-a} \) ) : \( \frac{1}{5a + 5b} \) и найдите его значение при \( a \neq \pm b \).

Задание 7. Упрощение выражения

Для начала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю. Помним, что \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) и \( b-a = -(a-b) \).

Выражение в скобках:

\[ \frac{6a}{a^2 - b^2} - \frac{2}{a+b} + \frac{3}{b-a} \]

Приведем все дроби к общему знаменателю \( (a-b)(a+b) \):

\[ = \frac{6a}{(a-b)(a+b)} - \frac{2(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{3(-(a-b))}{(b-a)(-(a-b))} \]

\[ = \frac{6a}{(a-b)(a+b)} - \frac{2a - 2b}{(a+b)(a-b)} + \frac{-3a + 3b}{(a-b)(a+b)} \]

Теперь сложим числители:

\[ = \frac{6a - (2a - 2b) + (-3a + 3b)}{(a-b)(a+b)} \]
\[ = \frac{6a - 2a + 2b - 3a + 3b}{(a-b)(a+b)} \]
\[ = \frac{a + 5b}{(a-b)(a+b)} \]

Теперь выполним деление:

\[ \frac{a + 5b}{(a-b)(a+b)} : \frac{1}{5a + 5b} \]

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

\[ = \frac{a + 5b}{(a-b)(a+b)} \times (5a + 5b) \]

Вынесем общий множитель 5 из \( 5a + 5b \):

\[ = \frac{a + 5b}{(a-b)(a+b)} \times 5(a + b) \]

Сократим \( (a+b) \):

\[ = \frac{a + 5b}{a-b} \times 5 \]
\[ = \frac{5(a + 5b)}{a-b} \]
\[ = \frac{5a + 25b}{a-b} \]

Упрощенное выражение: \( \frac{5a + 25b}{a-b} \)

Поскольку в условии не указаны конкретные значения \( a \) и \( b \), а только условие \( a \neq \pm b \) (чтобы знаменатели не были равны нулю), то значение выражения зависит от \( a \) и \( b \). Следовательно, нам нужно просто предоставить упрощенную форму.

Ответ: \( \frac{5a + 25b}{a-b} \).