7. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20.5. Найдите BC, если AC = 9.

Решение:

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. Значит, AB = 2R = 2 \( \cdot \) 20.5 = 41.

Так как AB — диаметр, то угол ACB является вписанным и опирается на диаметр. Следовательно, \( \angle ACB = 90^{\circ} \). Треугольник ABC — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике ABC известны:

• Гипотенуза AB = 41
• Катет AC = 9

Найдем второй катет BC по теореме Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

\[ 9^2 + BC^2 = 41^2 \]

\[ 81 + BC^2 = 1681 \]

\[ BC^2 = 1681 - 81 = 1600 \]

\[ BC = \sqrt{1600} = 40 \]

Ответ: 40.