7. Постройте на координатной плоскости точки А,В,С,Д, если А(-3; 4), B(2;-1), C(-1;-2), D(4; 3). Определите координаты точки пересечения прямых АВ и СР.

Задание 7. Точки на координатной плоскости и пересечение прямых

1. Построение точек:

Чтобы построить точки, нужно отметить на оси X (горизонтальной) соответствующее значение, а затем провести линию до соответствующего значения на оси Y (вертикальной). Точка пересечения этих линий и будет искомой точкой.

• A(-3; 4): от -3 по оси X, вверх на 4 по оси Y.
• B(2; -1): от 2 по оси X, вниз на 1 по оси Y.
• C(-1; -2): от -1 по оси X, вниз на 2 по оси Y.
• D(4; 3): от 4 по оси X, вверх на 3 по оси Y.

2. Нахождение точки пересечения прямых AB и CD:

Сначала найдём уравнения прямых AB и CD.

а) Прямая AB:

Точки A(-3; 4) и B(2; -1).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точек A и B:

Для A: \( 4 = k(-3) + b \rightarrow 4 = -3k + b \) (1)

Для B: \( -1 = k(2) + b \rightarrow -1 = 2k + b \) (2)

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

\[ (4) - (-1) = (-3k + b) - (2k + b) \]

\[ 4 + 1 = -3k + b - 2k - b \]

\[ 5 = -5k \]

\[ k = \frac{5}{-5} = -1 \]

Теперь найдём \( b \), подставив \( k = -1 \) в уравнение (2):

\[ -1 = 2(-1) + b \]

\[ -1 = -2 + b \]

\[ b = -1 + 2 = 1 \]

Уравнение прямой AB: \( y = -x + 1 \).

б) Прямая CD:

Точки C(-1; -2) и D(4; 3).

Аналогично подставим координаты точек C и D:

Для C: \( -2 = k(-1) + b \rightarrow -2 = -k + b \) (3)

Для D: \( 3 = k(4) + b \rightarrow 3 = 4k + b \) (4)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

\[ (3) - (-2) = (4k + b) - (-k + b) \]

\[ 3 + 2 = 4k + b + k - b \]

\[ 5 = 5k \]

\[ k = \frac{5}{5} = 1 \]

Теперь найдём \( b \), подставив \( k = 1 \) в уравнение (3):

\[ -2 = -(1) + b \]

\[ -2 = -1 + b \]

\[ b = -2 + 1 = -1 \]

Уравнение прямой CD: \( y = x - 1 \).

в) Найдём точку пересечения прямых:

Для этого приравняем уравнения прямых:

\[ -x + 1 = x - 1 \]

Перенесём \( x \) вправо, а -1 влево:

\[ 1 + 1 = x + x \]

\[ 2 = 2x \]

\[ x = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = 1 \) в любое из уравнений прямых. Возьмём уравнение прямой CD:

\[ y = x - 1 = 1 - 1 = 0 \]

Точка пересечения имеет координаты (1; 0).

Ответ: Координаты точки пересечения прямых AB и CD равны (1; 0).