7. Постройте график уравнения (y - x + 1)(y - x²) = 0. Сколько точек пересечения имеет график данного уравнения с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Уравнение \( (y - x + 1)(y - x^2) = 0 \) выполняется, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, это уравнение распадается на два:

1. \( y - x + 1 = 0 \) \(\implies\) \( y = x - 1 \). Это прямая линия.
2. \( y - x^2 = 0 \) \(\implies\) \( y = x^2 \). Это парабола.

График данного уравнения состоит из этих двух линий.

Теперь рассмотрим пересечение этого графика с прямой, параллельной оси абсцисс. Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = c \), где \( c \) — некоторая константа.

Найдем точки пересечения с прямой \( y = x - 1 \):

\( c = x - 1 \) \(\implies\) \( x = c + 1 \). Всегда одна точка пересечения.

Найдем точки пересечения с прямой \( y = x^2 \):

\( c = x^2 \) \(\implies\) \( x = ±√{c} \).

• Если \( c > 0 \), то две точки пересечения: \( (√{c}, c) \) и \( (-√{c}, c) \).
• Если \( c = 0 \), то одна точка пересечения: \( (0, 0) \).
• Если \( c < 0 \), то нет точек пересечения.

Таким образом, прямая \( y = c \) может пересекать график данного уравнения:

• В двух точках (когда \( c > 0 \)).
• В трех точках (одна точка от прямой \( y = x-1 \) и две от параболы \( y=x^2 \), если \( c > 0 \) и \( c \neq 1 \) - точка пересечения прямой и параболы).
• В трех точках (когда \( c > 0 \) и \( c \neq 1 \), например, \( c=1 \): \( y=1 \) пересекает \( y=x-1 \) в \( (2,1) \) и \( y=x^2 \) в \( (1,1) \) и \( (-1,1) \) — всего 3 точки).
• В одной точке (когда \( c = 0 \)).
• В одной точке (когда \( c = 0 \) - вершина параболы).
• В двух точках (когда \( c < 0 \) — одна точка от прямой \( y=x-1 \), если \( c < 0 \), и 0 точек от параболы).

Если прямая \( y=c \) не проходит через точку пересечения прямой \( y=x-1 \) и параболы \( y=x^2 \) (т.е. \( c \neq 1 \) и \( c \neq 0 \) ), то количество точек пересечения может быть 1, 2 или 3.

Рассмотрим случай, когда \( c \) является значением \( y \) для точки пересечения прямой \( y = x - 1 \) и параболы \( y = x^2 \).

\( x - 1 = x^2 \)

\( x^2 - x + 1 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0 \). Нет пересечения у прямой и параболы.

Следовательно, для любого \( c \), прямая \( y = c \) пересекает:

• Прямую \( y = x - 1 \) ровно в одной точке.
• Параболу \( y = x^2 \) в двух точках, если \( c > 0 \), в одной точке, если \( c = 0 \), и в нуле точек, если \( c < 0 \).

Максимальное количество точек пересечения будет 1 (от прямой) + 2 (от параболы) = 3.

Ответ: График данного уравнения с прямой, параллельной оси абсцисс, может иметь 1, 2 или 3 точки пересечения, в зависимости от значения \( y \) этой прямой. Максимальное количество точек пересечения - 3.