7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Решение:

Дана функция \( y = x^3 - x \) на отрезке \( [-2; 2] \).

Найдем производную функции:

\[ y' = (x^3)' - (x)' \]

\[ y' = 3x^2 - 1 \]

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

\[ 3x^2 - 1 = 0 \]

\[ 3x^2 = 1 \]

\[ x^2 = \frac{1}{3} \]

\[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Оба значения \( x = \frac{\sqrt{3}}{3} \) и \( x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) принадлежат отрезку \( [-2; 2] \).

Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• \( x = -2 \): \( y = (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6 \).
• \( x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \): \( y = \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{27} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9} \).
• \( x = \frac{\sqrt{3}}{3} \): \( y = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{27} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{3\sqrt{3}}{9} = -\frac{2\sqrt{3}}{9} \).
• \( x = 2 \): \( y = (2)^3 - 2 = 8 - 2 = 6 \).

Сравним полученные значения:

\( -6, \; \frac{2\sqrt{3}}{9} \approx \frac{2 \cdot 1.732}{9} \approx 0.385, \; -\frac{2\sqrt{3}}{9} \approx -0.385, \; 6 \).

Наибольшее значение равно 6.

Наименьшее значение равно -6.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение равно -6.