6. Найти промежутки монотонности и экстремумы:

Решение:

Дана функция \( y = x^3 + x^2 - 5x - 3 \).

Найдем производную функции:

\[ y' = (x^3)' + (x^2)' - (5x)' - (3)' \]

\[ y' = 3x^2 + 2x - 5 \]

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

\[ 3x^2 + 2x - 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 \]

\[ \sqrt{D} = 8 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \]

Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -\frac{5}{3}) \), \( (-\frac{5}{3}; 1) \), \( (1; +\infty) \).

Определим знак производной на каждом интервале:

• При \( x < -\frac{5}{3} \) (например, \( x = -2 \)): \( y' = 3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -\frac{5}{3} < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 3(0)^2 + 2(0) - 5 = -5 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( y' = 3(2)^2 + 2(2) - 5 = 12 + 4 - 5 = 11 > 0 \). Функция возрастает.

Промежутки монотонности:

• Возрастает на \( [-\infty; -\frac{5}{3}] \) и \( [1; +\infty) \).
• Убывает на \( [-\frac{5}{3}; 1] \).

Экстремумы:

• В точке \( x = -\frac{5}{3} \) производная меняет знак с '+' на '-', следовательно, это точка максимума.

\( y_{max} = y(-\frac{5}{3}) = (-\frac{5}{3})^3 + (-\frac{5}{3})^2 - 5(-\frac{5}{3}) - 3 \)

\( y_{max} = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 3 \)

\( y_{max} = \frac{-125 + 75 + 225 - 81}{27} = \frac{94}{27} \)

• В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с '-' на '+', следовательно, это точка минимума.

\( y_{min} = y(1) = 1^3 + 1^2 - 5(1) - 3 = 1 + 1 - 5 - 3 = -6 \)

Ответ: Возрастает на \( [-\infty; -\frac{5}{3}] \) и \( [1; +\infty) \). Убывает на \( [-\frac{5}{3}; 1] \). Максимум \( y = \frac{94}{27} \) в точке \( x = -\frac{5}{3} \). Минимум \( y = -6 \) в точке \( x = 1 \).