5. Написать уравнение касательной для функции:

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \).

В данном случае функция \( y = x^2 \) и точка \( M(1; 3) \). Проверим, принадлежит ли точка графику функции: \( 3 \neq 1^2 \). Значит, точка \( M(1; 3) \) не лежит на графике функции \( y = x^2 \).

Предположим, что имеется в виду точка графика с координатой \( x = 1 \). Тогда \( y = 1^2 = 1 \). Точка касания \( (1; 1) \).

Найдем производную функции \( y = x^2 \):

\[ y' = (x^2)' = 2x \]

Найдем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):

\[ f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \]

Теперь подставим значения в уравнение касательной:

\[ y - 1 = 2(x - 1) \]

\[ y - 1 = 2x - 2 \]

\[ y = 2x - 1 \]

Если же имелась в виду точка \( M(1; 3) \) как точка, через которую проходит касательная, и мы должны найти уравнение касательной, проведенной из этой точки к графику \( y = x^2 \), то:

Пусть \( x_0 \) — абсцисса точки касания. Тогда ордината точки касания \( y_0 = x_0^2 \). Значение производной в точке касания \( f'(x_0) = 2x_0 \).

Уравнение касательной: \( y - x_0^2 = 2x_0(x - x_0) \).

Так как касательная проходит через точку \( M(1; 3) \), подставим её координаты:

\[ 3 - x_0^2 = 2x_0(1 - x_0) \]

\[ 3 - x_0^2 = 2x_0 - 2x_0^2 \]

\[ x_0^2 - 2x_0 + 3 = 0 \]

Дискриминант этого квадратного уравнения: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \). Так как \( D < 0 \), действительных корней нет, то есть из точки \( M(1; 3) \) невозможно провести касательную к графику \( y = x^2 \).

Исходя из стандартных формулировок задач, наиболее вероятно, что имелась в виду точка графика с абсциссой 1.

Ответ: \( y = 2x - 1 \).