7. Найдите все трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Задание 7

Обозначим трехзначное число как \( 100a + 10b + c \), где \( a, b, c \) — цифры, причем \( a ≠ 0 \). Сумма цифр равна \( a + b + c \).

По условию задачи:

\[ 100a + 10b + c = 12(a + b + c) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c \]

\[ 100a - 12a + 10b - 12b + c - 12c = 0 \]

\[ 88a - 2b - 11c = 0 \]

\[ 88a = 2b + 11c \]

Теперь будем перебирать возможные значения для \( a \) (от 1 до 9), \( b \) (от 0 до 9) и \( c \) (от 0 до 9).

Случай 1: \( a = 1 \)

\[ 88 × 1 = 2b + 11c \]

\[ 88 = 2b + 11c \]

Если \( c = 0 \), \( 2b = 88 \), \( b = 44 \) (не подходит, так как \( b \) — цифра).

Если \( c = 1 \), \( 2b = 88 - 11 = 77 \) (не подходит, \( b \) не целое).

Если \( c = 2 \), \( 2b = 88 - 22 = 66 \), \( b = 33 \) (не подходит).

Если \( c = 3 \), \( 2b = 88 - 33 = 55 \) (не подходит).

Если \( c = 4 \), \( 2b = 88 - 44 = 44 \), \( b = 22 \) (не подходит).

Если \( c = 5 \), \( 2b = 88 - 55 = 33 \) (не подходит).

Если \( c = 6 \), \( 2b = 88 - 66 = 22 \), \( b = 11 \) (не подходит).

Если \( c = 7 \), \( 2b = 88 - 77 = 11 \) (не подходит).

Если \( c = 8 \), \( 2b = 88 - 88 = 0 \), \( b = 0 \).

Получили число: \( a=1, b=0, c=8 \), то есть 108. Проверим: \( 108 = 12(1 + 0 + 8) = 12 × 9 = 108 \). Подходит.

Если \( c = 9 \), \( 2b = 88 - 99 = -11 \) (не подходит).

Случай 2: \( a = 2 \)

\[ 88 × 2 = 2b + 11c \]

\[ 176 = 2b + 11c \]

Максимальное значение \( 2b + 11c \) при \( b=9, c=9 \) равно \( 2 × 9 + 11 × 9 = 18 + 99 = 117 \). Так как \( 176 > 117 \), то для \( a ≥ 2 \) решений нет.

Ответ: 108