7. Лодка прошла 3 часа против течения реки и 2 часа по течению реки, проплыв за это время 32 км. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Решение:

Дано:

• Время движения против течения: \( t_1 = 3 \) ч.
• Время движения по течению: \( t_2 = 2 \) ч.
• Общий пройденный путь: \( S = 32 \) км.
• Скорость течения реки: \( v_{теч} = 3 \) км/ч.
• Найти: Собственная скорость лодки \( v_{собст} \) км/ч.

Решение:

1. Обозначим собственную скорость лодки как \( v_{собст} \) км/ч.
2. Скорость лодки против течения реки равна \( v_{против} = v_{собст} - v_{теч} = (v_{собст} - 3) \) км/ч.
3. Скорость лодки по течению реки равна \( v_{по} = v_{собст} + v_{теч} = (v_{собст} + 3) \) км/ч.
4. Пройденное расстояние против течения: \( S_1 = v_{против} · t_1 = (v_{собст} - 3) · 3 \) км.
5. Пройденное расстояние по течению: \( S_2 = v_{по} · t_2 = (v_{собст} + 3) · 2 \) км.
6. Общий путь равен сумме пройденных расстояний: \( S_1 + S_2 = 32 \) км.
7. Подставим выражения для \( S_1 \) и \( S_2 \): \( 3(v_{собст} - 3) + 2(v_{собст} + 3) = 32 \).
8. Раскроем скобки: \( 3v_{собст} - 9 + 2v_{собст} + 6 = 32 \).
9. Приведём подобные слагаемые: \( 5v_{собст} - 3 = 32 \).
10. Перенесём свободный член в правую часть: \( 5v_{собст} = 32 + 3 \).
11. \( 5v_{собст} = 35 \).
12. Найдём собственную скорость лодки: \( v_{собст} = \frac{35}{5} \).
13. \( v_{собст} = 7 \) км/ч.

Проверка:

Скорость против течения: \( 7 - 3 = 4 \) км/ч. Путь против течения: \( 4 \) км/ч \( · 3 \) ч = \( 12 \) км.

Скорость по течению: \( 7 + 3 = 10 \) км/ч. Путь по течению: \( 10 \) км/ч \( · 2 \) ч = \( 20 \) км.

Общий путь: \( 12 + 20 = 32 \) км. Расчёты верны.

Ответ: Собственная скорость лодки равна 7 км/ч.