7. Катер прошел от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 мин и вернулся обратно через \(5\frac{1}{3}\) ч после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей...

Задание 7. Задача на движение по реке

Условие: Катер прошел от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 мин и вернулся обратно через \(5\frac{1}{3}\) ч после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде составляет \( v_к \) км/ч.

Дано:

• Расстояние от пристани до пристани: \( S = 48 \) км.
• Время стоянки: \( t_{ст} = 20 \) мин.
• Общее время в пути: \( T_{общ} = 5\frac{1}{3} \) ч.
• Скорость катера в стоячей воде: \( v_к \) км/ч.

Найти: Скорость течения реки \( v_т \) км/ч.

Решение:

1. Сначала переведём все величины в одну систему измерения. Удобнее всего работать в часах и километрах.
• Время стоянки в часах: \( 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \) ч.
• Общее время в пути в часах: \( 5\frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} \text{ ч} = \frac{16}{3} \) ч.
2. Время движения катера (без учёта стоянки): \( t_{движ} = T_{общ} - t_{ст} = \frac{16}{3} \text{ ч} - \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{15}{3} \text{ ч} = 5 \) ч.
3. Пусть \( v_к \) — скорость катера в стоячей воде, а \( v_т \) — скорость течения реки.
4. Когда катер плывёт по течению (от одной пристани к другой), его скорость равна \( v_к + v_т \).
5. Когда катер плывёт против течения (обратно), его скорость равна \( v_к - v_т \).
6. Расстояние в одну сторону равно 48 км. Время движения в одну сторону (туда) и обратно будет разным.
7. Пусть \( t_1 \) — время движения туда, а \( t_2 \) — время движения обратно.
8. \( t_1 = \frac{S}{v_к + v_т} = \frac{48}{v_к + v_т} \).
9. \( t_2 = \frac{S}{v_к - v_т} = \frac{48}{v_к - v_т} \).
10. Общее время движения: \( t_1 + t_2 = t_{движ} \).
11. \( \frac{48}{v_к + v_т} + \frac{48}{v_к - v_т} = 5 \).
12. Приведём к общему знаменателю: \( (v_к + v_т)(v_к - v_т) = v_к^2 - v_т^2 \).
13. \( 48(v_к - v_т) + 48(v_к + v_т) = 5(v_к^2 - v_т^2) \).
14. Раскроем скобки: \( 48v_к - 48v_т + 48v_к + 48v_т = 5v_к^2 - 5v_т^2 \).
15. Упростим: \( 96v_к = 5v_к^2 - 5v_т^2 \).
16. Теперь нам нужно найти \( v_т \). Выразим \( 5v_т^2 \):

$$ 5v_т^2 = 5v_к^2 - 96v_к $$

1. Разделим обе части на 5:

$$ v_т^2 = v_к^2 - \frac{96}{5}v_к $$

1. Извлечём квадратный корень:

$$ v_т = \sqrt{v_к^2 - \frac{96}{5}v_к} $$

1. Для того чтобы найти конкретное числовое значение скорости течения, нам не хватает значения скорости катера в стоячей воде \( v_к \). Если предположить, что в условии была опечатка и скорость катера в стоячей воде указана, например, 20 км/ч, то можно было бы продолжить.

Пример с предположением: Пусть \( v_к = 20 \) км/ч.

1. Тогда:

$$ v_т^2 = 20^2 - \frac{96}{5} \cdot 20 = 400 - 96 \cdot 4 = 400 - 384 = 16 $$

1. \( v_т = \sqrt{16} = 4 \) км/ч.

Ответ: Скорость течения реки \( v_т = \sqrt{v_к^2 - \frac{96}{5}v_к} \) км/ч. Для получения числового ответа необходимо знать скорость катера в стоячей воде.