7. Докажите, что выражение $$x^2 - 18x + 84$$ принимает положительные значения при всех значениях $$x$$.

1) Выделим полный квадрат: $$x^2 - 18x + 81 + 3 = (x-9)^2 + 3$$
2) Так как $$(x-9)^2 \ge 0$$ для любого $$x$$, то $$(x-9)^2 + 3 \ge 3$$.
3) Следовательно, выражение всегда положительно. Доказано.