7. Докажите, что если в окружности две хорды делятся точкой пересечения в одном и том же отношении, то они равны.

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке P. Пусть AP/PB = CP/PD = k. По свойству пересекающихся хорд, AP * PB = CP * PD. Из условия AP = k * PB и CP = k * PD. Подставляем: (k * PB) * PB = (k * PD) * PD. k * PB^2 = k * PD^2. Если k != 0, то PB^2 = PD^2, следовательно PB = PD. Так как AP = k * PB и CP = k * PD, и PB = PD, то AP = CP. Следовательно, AB = AP + PB = CP + PD = CD. Доказано.