7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором A1=6, а AB=BC=3. Вычислите косинус угла между векторами BA1 и BC1.

Решение:

Заданы размеры прямоугольного параллелепипеда:

• Высота \( AA_1 = 6 \).
• Длина основания \( AB = 3 \).
• Ширина основания \( BC = 3 \).

Отсюда следует, что \( AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = 6 \) и \( AB = CD = A_1B_1 = C_1D_1 = 3 \), \( BC = AD = B_1C_1 = A_1D_1 = 3 \).

Нам нужно найти косинус угла между векторами \( \vec{BA_1} \) и \( \vec{BC_1} \).

Найдем координаты векторов, поместив начало координат в точку \( B \). Тогда:

• \( B = (0, 0, 0) \)
• \( A = (3, 0, 0) \) (предположим, что AB лежит вдоль оси X)
• \( C = (0, 3, 0) \) (предположим, что BC лежит вдоль оси Y)
• \( A_1 = (3, 0, 6) \)
• \( C_1 = (0, 3, 6) \)

Теперь найдем векторы:

• \( \vec{BA_1} = A_1 - B = (3, 0, 6) - (0, 0, 0) = (3, 0, 6) \).
• \( \vec{BC_1} = C_1 - B = (0, 3, 6) - (0, 0, 0) = (0, 3, 6) \).

Косинус угла \( \gamma \) между двумя векторами вычисляется по формуле:

\( \cos \gamma = \frac{\vec{BA_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{BA_1}| \cdot |\vec{BC_1}|} \).

Найдем скалярное произведение:

\( \vec{BA_1} \cdot \vec{BC_1} = (3)(0) + (0)(3) + (6)(6) = 0 + 0 + 36 = 36 \).

Найдем длины векторов:

\( |\vec{BA_1}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 0 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \).

\( |\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \).

Теперь вычислим косинус:

\( \cos \gamma = \frac{36}{(3\sqrt{5}) \cdot (3\sqrt{5})} = \frac{36}{9 \cdot 5} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5} = 0,8 \).

Ответ: 0,8.