4. Решите неравенство графически 2^x ≤ 3 - √x.

Решение:

Для решения неравенства \( 2^x \le 3 - \sqrt{x} \) построим графики функций \( y = 2^x \) (экспоненциальная функция, возрастающая) и \( y = 3 - \sqrt{x} \) (корень, убывающая).

График \( y = 2^x \):

• При \( x=0 \): \( y=2^0=1 \).
• При \( x=1 \): \( y=2^1=2 \).
• При \( x=2 \): \( y=2^2=4 \).

График \( y = 3 - \sqrt{x} \):

• При \( x=0 \): \( y=3-\sqrt{0}=3 \).
• При \( x=1 \): \( y=3-\sqrt{1}=3-1=2 \).
• При \( x=4 \): \( y=3-\sqrt{4}=3-2=1 \).

Из графиков видно, что:

1. При \( x=0 \), \( 1 \le 3 \) (верно).
2. При \( x=1 \), \( 2 \le 2 \) (верно, точка пересечения).
3. При \( x=4 \), \( 4 \le 1 \) (неверно).

Графики пересекаются в точке \( x=1 \). Экспоненциальная функция \( 2^x \) растет быстрее, чем \( 3 - \sqrt{x} \) убывает, поэтому неравенство \( 2^x \le 3 - \sqrt{x} \) выполняется для значений \( x \) от 0 до 1, включая обе эти точки.

Ответ: \( [0; 1] \).