7. Через концы диаметра AB окружности с центром O, проведены параллельные прямые, пересекающие окружность в точках M и K. Докажите, что MK — диаметр окружности.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Дано, что AB - диаметр окружности. Прямые AM и BK параллельны.
2. Шаг 2: Проведем хорду MK.
3. Шаг 3: Рассмотрим дуги, заключенные между параллельными хордами AM и BK. По свойству параллельных хорд, дуги, заключенные между ними, равны. То есть, дуга AK равна дуге MB.
4. Шаг 4: Так как AB - диаметр, то дуга AKM равна дуге BKM (полуокружности).
5. Шаг 5: Из равенства дуг AK и MB следует, что дуга AK + дуга KM = дуга MB + дуга KM.
   То есть, дуга AKM = дуга BKM.
6. Шаг 6: Если дуги AKM и BKM равны, то и хорды, стягивающие эти дуги, равны. Следовательно, хорда MK является диаметром, так как она стягивает полуокружность.
7. Шаг 7: Альтернативное доказательство: проведем радиусы OA, OB, OM, OK. Так как AM || BK, то угол OAM = угол OBK (как накрест лежащие при параллельных AM, BK и секущей AB). Треугольники OAM и OBK являются равнобедренными (OA=OM, OB=OK - радиусы).
8. Шаг 8: Углы при основании равнобедренных треугольников равны: \( ∠OMA = ∠OAM \) и \( ∠OKB = ∠OBK \).
9. Шаг 9: Следовательно, \( ∠OMA = ∠OKB \).
10. Шаг 10: Так как AM || BK, то угол AMB = угол KBM (как накрест лежащие углы при параллельных AM, BK и секущей MB).
11. Шаг 11: Угол AMB опирается на диаметр AB, значит, \( ∠AMB = 90° \). Тогда \( ∠KBM = 90° \).
12. Шаг 12: Треугольники OMA и OKB равны по двум сторонам и углу между ними (OA=OB, OM=OK, \( ∠AOM = ∠BOK \) - как вертикальные, если M и K по разные стороны от AB, или \( ∠AOM = 180 - ∠MOK \) и т.д.).
13. Шаг 13: Если \( ∠OMA = ∠OKB \), и \( ∠OAM = ∠OBK \), то \( ∠AOM \) и \( ∠BOK \) должны быть равны.
14. Шаг 14: Если \( ∠AOM = ∠BOK \), то центральные углы, опирающиеся на дуги AM и BK, равны, следовательно, дуги AM и BK равны.
15. Шаг 15: Если дуги AK и MB равны (что следует из параллельности AM и BK), то хорды AK и MB равны.
16. Шаг 16: Учитывая, что AB - диаметр, и AM || BK, то MK также является диаметром. Это следует из того, что если провести перпендикуляры из O к AM и BK, они будут параллельны и симметричны относительно O.
17. Шаг 17: Более строго: Так как AM || BK, то расстояние от O до AM равно расстоянию от O до BK. Поскольку O - центр, а AM и BK - хорды, то если эти расстояния равны, то и хорды AM и BK должны быть равны.
18. Шаг 18: Если AM = BK, и AB - диаметр, то MK также будет диаметром, поскольку точки M и K находятся на равном