7 ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб. Точки М и К являются серединами ребер А₁D₁ и DD₁ соответственно. Для начала каждого из предложений А – В подберите его окончание 1 - 6 так, чтобы получилось верное утверждение. А) Величина угла между прямыми C₁D₁ и КМ равна... Б) Величина угла между прямыми B₁C₁ и КМ равна... В) Величина угла между прямыми АС и КМ равна...

Решение:

Рассмотрим куб с ребром \(a\). Введём систему координат:

Пусть \(D = (0, 0, 0)\), \(A = (a, 0, 0)\), \(B = (a, a, 0)\), \(C = (0, a, 0)\), \(D_1 = (0, 0, a)\), \(A_1 = (a, 0, a)\), \(B_1 = (a, a, a)\), \(C_1 = (0, a, a)\).

Точка \(M\) — середина \(A_1D_1\): \(M = (\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{a+a}{2}) = (\frac{a}{2}, 0, a)\).

Точка \(K\) — середина \(DD_1\): \(K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}) = (0, 0, \frac{a}{2})\).

Вектор \(\vec{KM}\) = \(M - K = (\frac{a}{2} - 0, 0 - 0, a - \frac{a}{2}) = (\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2})\).

А) Величина угла между прямыми C₁D₁ и КМ:

Вектор \(\vec{C_1D_1}\) = \(D_1 - C_1 = (0 - 0, 0 - a, 0 - a) = (0, -a, -a)\).

Найдем косинус угла между \(\vec{C_1D_1}\) и \(\vec{KM}\):

\[ \cos \alpha = \frac{|\vec{C_1D_1} × \vec{KM}|}{|\vec{C_1D_1}| \cdot |\vec{KM}|} \]\[ \vec{C_1D_1} × \vec{KM} = (0) \cdot (\frac{a}{2}) + (-a) \cdot (0) + (-a) \cdot (\frac{a}{2}) = -\frac{a^2}{2} \]\[ |\vec{C_1D_1}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]\[ |\vec{KM}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + 0^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos \alpha = \frac{|-\frac{a^2}{2}|}{a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2 \cdot 2}{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2} \]

Угол, косинус которого равен \(\frac{1}{2}\), равен \(60^{\circ}\).

Б) Величина угла между прямыми B₁C₁ и КМ:

Вектор \(\vec{B_1C_1}\) = \(C_1 - B_1 = (0 - a, a - a, a - a) = (-a, 0, 0)\).

Найдем косинус угла между \(\vec{B_1C_1}\) и \(\vec{KM}\):

\[ \cos \beta = \frac{|\vec{B_1C_1} × \vec{KM}|}{|\vec{B_1C_1}| \cdot |\vec{KM}|} \]\[ \vec{B_1C_1} × \vec{KM} = (-a) \cdot (\frac{a}{2}) + (0) \cdot (0) + (0) \cdot (\frac{a}{2}) = -\frac{a^2}{2} \]\[ |\vec{B_1C_1}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + 0^2} = a \]\[ |\vec{KM}| = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos \beta = \frac{|-\frac{a^2}{2}|}{a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Угол, косинус которого равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), равен \(45^{\circ}\).

В) Величина угла между прямыми АС и КМ:

Вектор \(\vec{AC}\) = \(C - A = (0 - a, a - 0, 0 - 0) = (-a, a, 0)\).

Найдем косинус угла между \(\vec{AC}\) и \(\vec{KM}\):

\[ \cos \gamma = \frac{|\vec{AC} × \vec{KM}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{KM}|} \]\[ \vec{AC} × \vec{KM} = (-a) \cdot (\frac{a}{2}) + (a) \cdot (0) + (0) \cdot (\frac{a}{2}) = -\frac{a^2}{2} \]\[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]\[ |\vec{KM}| = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos \gamma = \frac{|-\frac{a^2}{2}|}{a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2 \cdot 2}{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2} \]

Угол, косинус которого равен \(\frac{1}{2}\), равен \(60^{\circ}\).

Сопоставление:

• А) Величина угла между прямыми C₁D₁ и КМ равна... 6) 60°
• Б) Величина угла между прямыми B₁C₁ и КМ равна... 1) 45°
• В) Величина угла между прямыми АС и КМ равна... 6) 60°

Ответ: А-6, Б-1, В-6.