5 Дана правильная пятиугольная пирамида SABCDF, у которой длина стороны ВС основания ABCDF равна 6√2, а длина бокового ребра SC равна 7√2. Найдите апофему SM пирамиды SABCDF.

Решение:

В правильной пятиугольной пирамиде в основании лежит правильный пятиугольник. В основании пирамиды ABCDF, поэтому основание — это пятиугольник. Однако в условии сказано, что длина стороны ВС равна 6√2, и это является стороной основания. Если пирамида пятиугольная, то в основании должно быть 5 вершин. Предположим, что основание — это правильный пятиугольник, и одна из сторон равна 6√2. Боковое ребро SC = 7√2.

Апофема \(SM\) — это высота боковой грани \(SBC\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(SMC\), где \(MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} × 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\) (так как \(SBC\) — равнобедренный треугольник, и \(SM\) — медиана, высота и биссектриса).

По теореме Пифагора в \(\triangle SMC\):

\[ SC^2 = SM^2 + MC^2 \]\[ (7\sqrt{2})^2 = SM^2 + (3\sqrt{2})^2 \]\[ 49 \times 2 = SM^2 + 9 \times 2 \]\[ 98 = SM^2 + 18 \]\[ SM^2 = 98 - 18 \]\[ SM^2 = 80 \]\[ SM = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \]

Ответ: 3) 4√5.