7. (2 балла) Решите треугольник АВС, если АВ = 6, угол А= 30°, угол В = 45°. Найдите его стороны, площадь и периметр.

Чтобы решить треугольник, нам нужно найти все его стороны и углы. Нам уже даны две стороны и два угла.

Дано:

• Сторона AB = 6
• Угол ∠ A = 30°
• Угол ∠ B = 45°

1. Найдем третий угол (∠ C):

Сумма углов треугольника равна 180°.

\( \angle C = 180° - \angle A - \angle B \)

\( \angle C = 180° - 30° - 45° \)

\( \angle C = 105° \)

2. Найдем длины сторон BC (обозначим как a) и AC (обозначим как b) по теореме синусов:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)

У нас есть \( c = AB = 6 \).

Находим сторону a (BC):

\( \frac{a}{\sin 30°} = \frac{6}{\sin 105°} \)

\( a = \frac{6 · \sin 30°}{\sin 105°} \)

\( \sin 30° = 0.5 \)

\( \sin 105° = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} · \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} · \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.966 \)

\( a = \frac{6 · 0.5}{(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})} = \frac{3}{(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})} = \frac{12}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \):

\( a = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \)

\( a \approx 3(2.449 - 1.414) = 3(1.035) \approx 3.105 \) см

Находим сторону b (AC):

\( \frac{b}{\sin 45°} = \frac{6}{\sin 105°} \)

\( b = \frac{6 · \sin 45°}{\sin 105°} \)

\( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)

\( b = \frac{6 · \frac{\sqrt{2}}{2}}{(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})} = \frac{3\sqrt{2}}{(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \):

\( b = \frac{12\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{12} - 2)}{6 - 2} = \frac{12(2\sqrt{3} - 2)}{4} = 3(2\sqrt{3} - 2) = 6(\sqrt{3} - 1) \)

\( b \approx 6(1.732 - 1) = 6(0.732) \approx 4.392 \) см

3. Найдем периметр (P):

\( P = AB + BC + AC \)

\( P = 6 + 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 6(\sqrt{3} - 1) \)

\( P \approx 6 + 3.105 + 4.392 \approx 13.497 \) см

4. Найдем площадь (S) по формуле:

\( S = \frac{1}{2} · AB · AC · \sin A \)

\( S = \frac{1}{2} · 6 · b · \sin 30° \)

\( S = \frac{1}{2} · 6 · 6(\sqrt{3} - 1) · 0.5 \)

\( S = 3 · 6(\sqrt{3} - 1) · 0.5 \)

\( S = 18(\sqrt{3} - 1) · 0.5 \)

\( S = 9(\sqrt{3} - 1) \)

\( S \approx 9(1.732 - 1) = 9(0.732) \approx 6.588 \) см²

Ответ:

• Угол C = 105°
• Сторона BC (a) = \( 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \) см ≈ 3.105 см
• Сторона AC (b) = \( 6(\sqrt{3} - 1) \) см ≈ 4.392 см
• Периметр P = \( 6 + 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 6(\sqrt{3} - 1) \) см ≈ 13.497 см
• Площадь S = \( 9(\sqrt{3} - 1) \) см² ≈ 6.588 см²