7.14 Найдите значение выражения: 17√2 ⋅ cos²(5π/8) - 17√2 ⋅ sin²(5π/8).

Решение:

1. Вынесем общий множитель \( 17\sqrt{2} \): \( 17\sqrt{2} (\cos^2(\frac{5\pi}{8}) - \sin^2(\frac{5\pi}{8})) \).
2. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \).
3. Применим формулу: \( 17\sqrt{2} \cos(2 \cdot \frac{5\pi}{8}) = 17\sqrt{2} \cos(\frac{5\pi}{4}) \).
4. \( \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
5. Подставим значение обратно: \( 17\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \).
6. Вычислим: \( -17 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = -17 \cdot \frac{2}{2} = -17 \).

Ответ: -17