7.13 Найдите значение выражения: √12 - √48 ⋅ sin²(7π/12).

Решение:

1. Упростим корни: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \), \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \).
2. Выражение станет: \( 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \sin^2(\frac{7\pi}{12}) \).
3. Найдем значение \( \sin(\frac{7\pi}{12}) \). \( \frac{7\pi}{12} = \frac{3\pi+4\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \).
4. \( \sin(\frac{7\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \).
5. Возведём в квадрат: \( \sin^2(\frac{7\pi}{12}) = (\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4})^2 = \frac{2 + 2\sqrt{12} + 6}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \).
6. Подставим в выражение: \( 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \).
7. Упростим: \( 2\sqrt{3} - \sqrt{3}(2 + \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 3 = -3 \).

Ответ: -3