7. (1 балл) Найти производную функции \( f(x) = -5x^4 + x^2 \)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = -5x^4 + x^2 \) используем правила дифференцирования:

1. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных: \( (u ± v)' = u' ± v' \).

2. Производная степенной функции: \( (x^n)' = nx^{n-1} \).

3. Производная константы, умноженной на функцию: \( (cf(x))' = c f'(x) \).

Применим эти правила к нашей функции:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(-5x^4 + x^2) \)

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(-5x^4) + \frac{d}{dx}(x^2) \)

\( f'(x) = -5 \cdot \frac{d}{dx}(x^4) + \frac{d}{dx}(x^2) \)

\( f'(x) = -5 \cdot (4x^{4-1}) + (2x^{2-1}) \)

\( f'(x) = -5 \cdot 4x^3 + 2x^1 \)

\( f'(x) = -20x^3 + 2x \).

Ответ: \( f'(x) = -20x^3 + 2x \).