6. Задание оценивается в 6 баллов. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием NM проведена медиана KD. Найдите углы треугольника KDM и угол MKN, если внешний угол треугольника MNK при вершине N равен 130°.

Решение:

1. Равнобедренный треугольник: В ΔMNK основание NM, значит, MK = NK и ∠MNK = ∠NMK.
2. Внешний угол при вершине N: Внешний угол при вершине N равен 130°. Внутренний угол ∠MNK смежен с ним, поэтому:

\[ ∠MNK = 180° - 130° = 50° \]

Так как ∠MNK = ∠NMK (углы при основании равнобедренного треугольника), то ∠NMK = 50°.

3. Угол при вершине K: Сумма углов в ΔMNK равна 180°.

\[ ∠MKN = 180° - (∠NMK + ∠MNK) = 180° - (50° + 50°) = 180° - 100° = 80° \]

Медиана KD: KD - медиана к основанию NM. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.

\[ ∠MKD = ∠NKD = \frac{∠MKN}{2} = \frac{80°}{2} = 40° \]

Углы треугольника KDM:

• ∠KDM = 90° (так как KD - высота)
• ∠NMD = ∠NMK = 50° (угол при основании)
• ∠DKM: В ΔKDM:

\[ ∠DKM = 180° - (∠KDM + ∠NMD) = 180° - (90° + 50°) = 180° - 140° = 40° \]

Угол MKN: Мы уже нашли, что ∠MKN = 80°.

Проверка: Углы ΔKDM: 90°, 50°, 40°. Угол ∠MKD, который является частью ∠MKN, равен 40°. Это совпадает с нашим расчетом.

Ответ: Углы треугольника KDM: ∠KDM = 90°, ∠NMD = 50°, ∠DKM = 40°. Угол MKN = 80°.