6. Вычислите определенный интеграл: ∫ from 1 to 2 of 8x³ dx

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_1^2 8x^3 dx \) сначала найдём первообразную для функции \( 8x^3 \).

Первообразная \( F(x) \) равна:

\( F(x) = \int 8x^3 dx = 8 \int x^3 dx = 8 \frac{x^{3+1}}{3+1} = 8 \frac{x^4}{4} = 2x^4 \).

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( \int_1^2 8x^3 dx = F(2) - F(1) \)

\( F(2) = 2 × (2)^4 = 2 × 16 = 32 \)

\( F(1) = 2 × (1)^4 = 2 × 1 = 2 \)

\( \int_1^2 8x^3 dx = 32 - 2 = 30 \)

Ответ: 30