5. Найдите первообразную функции: f(x) = 7x⁶ + 8x³ - 6x + 9.

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 7x^6 + 8x^3 - 6x + 9 \), используем правило интегрирования \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и \( \int c dx = cx + C \).

Первообразная \( F(x) \) будет равна:

\( F(x) = \int (7x^6 + 8x^3 - 6x + 9) dx \)

\( F(x) = 7 \int x^6 dx + 8 \int x^3 dx - 6 \int x dx + \int 9 dx \)

Применяем правило интегрирования к каждому члену:

\( 7 \int x^6 dx = 7 \frac{x^{6+1}}{6+1} = 7 \frac{x^7}{7} = x^7 \)

\( 8 \int x^3 dx = 8 \frac{x^{3+1}}{3+1} = 8 \frac{x^4}{4} = 2x^4 \)

\( -6 \int x dx = -6 \frac{x^{1+1}}{1+1} = -6 \frac{x^2}{2} = -3x^2 \)

\( \int 9 dx = 9x \)

Складываем все части и добавляем константу \( C \):

\( F(x) = x^7 + 2x^4 - 3x^2 + 9x + C \)

Ответ: \( F(x) = x^7 + 2x^4 - 3x^2 + 9x + C \)