6. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 10. Найдите ВС, если АС = 16.

Задание 6. Описанная окружность и треугольник

Дано:

• Центр описанной окружности лежит на стороне AB.
• Радиус окружности: \( R = 10 \)
• Сторона AC = 16

Найти: сторону BC.

Решение:

1. Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности.
2. Следовательно, AB — диаметр окружности, и \( AB = 2R = 2 × 10 = 20 \).
3. Так как AB — диаметр, то угол \( ∠ ACB \) является вписанным углом, опирающимся на диаметр. Следовательно, \( ∠ ACB = 90^° \).
4. Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C.
5. В прямоугольном треугольнике ABC стороны AC и BC — катеты, а AB — гипотенуза.
6. Используем теорему Пифагора:
7. \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]
8. Подставим известные значения:
9. \[ 16^2 + BC^2 = 20^2 \]
10. \[ 256 + BC^2 = 400 \]
11. \[ BC^2 = 400 - 256 \]
12. \[ BC^2 = 144 \]
13. \[ BC = √144 \]
14. \[ BC = 12 \]

Ответ: 12