6. Решите уравнение: 5x-7 / x-3 = 4x-3 / x.

Решение:

Решим уравнение \( \frac{5x-7}{x-3} = \frac{4x-3}{x} \).

1. Определим ОДЗ: \( x \neq 0 \) и \( x \neq 3 \).
2. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить ноль справа: \( \frac{5x-7}{x-3} - \frac{4x-3}{x} = 0 \).
3. Приведём к общему знаменателю \( x(x-3) \): \( \frac{(5x-7)x - (4x-3)(x-3)}{x(x-3)} = 0 \).
4. Раскроем скобки в числителе: \( \frac{5x^2 - 7x - (4x^2 - 12x - 3x + 9)}{x(x-3)} = 0 \).
5. Упростим числитель: \( \frac{5x^2 - 7x - (4x^2 - 15x + 9)}{x(x-3)} = 0 \).
6. \( \frac{5x^2 - 7x - 4x^2 + 15x - 9}{x(x-3)} = 0 \).
7. \( \frac{x^2 + 8x - 9}{x(x-3)} = 0 \).
8. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \( x^2 + 8x - 9 = 0 \).
9. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \). \( \sqrt{D} = 10 \).
10. Корни: \( x_1 = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \).
11. Проверим ОДЗ: \( 1 \neq 0 \), \( 1 \neq 3 \), \( -9 \neq 0 \), \( -9 \neq 3 \). Оба корня подходят.

Ответ: \( x=1, x=-9 \).