6. Решите систему уравнений: \(\begin{cases} 7x^2-5x=y, \\ 7x-5=y. \end{cases}\)

Краткая запись:

• Система уравнений:
• \( 7x^2-5x=y \)
• \( 7x-5=y \)
• Найти: Решение системы (x, y)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приравняем левые части уравнений, так как они обе равны \( y \).
• \( 7x^2 - 5x = 7x - 5 \)
2. Шаг 2: Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение.
• \( 7x^2 - 5x - 7x + 5 = 0 \)
• \( 7x^2 - 12x + 5 = 0 \)
3. Шаг 3: Решим квадратное уравнение, используя дискриминант.
• Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \)
• \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 \)
• \( D = 144 - 140 \)
• \( D = 4 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \)
4. Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения.
• \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 2}{2 \cdot 7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \)
• \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 2}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1 \)
5. Шаг 5: Найдем соответствующие значения \( y \), подставив \( x_1 \) и \( x_2 \) во второе уравнение системы \( y = 7x - 5 \).
• Для \( x_1 = \frac{5}{7} \):
• \( y_1 = 7 \cdot \frac{5}{7} - 5 = 5 - 5 = 0 \)
• Для \( x_2 = 1 \):
• \( y_2 = 7 \cdot 1 - 5 = 7 - 5 = 2 \)

Ответ: \( (\frac{5}{7}; 0) \) и \( (1; 2) \)