5. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: – 256; 128; – 64; ... Найдите сумму первых семи ее членов.

Краткая запись:

• Геометрическая прогрессия: \( b_1 = -256, b_2 = 128, b_3 = -64, \dots \)
• Найти: Сумму первых семи членов (\( S_7 \))

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим первый член геометрической прогрессии.
• По условию, \( b_1 = -256 \).
2. Шаг 2: Найдем знаменатель геометрической прогрессии (q).
• \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{128}{-256} = -\frac{1}{2} \)
• Проверим: \( q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-64}{128} = -\frac{1}{2} \). Знаменатель найден верно.
3. Шаг 3: Воспользуемся формулой суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \)
• В нашем случае \( n=7 \), \( b_1 = -256 \), \( q = -0,5 \).
• \( S_7 = \frac{-256(1 - (-0,5)^7)}{1 - (-0,5)} \)
• \( S_7 = \frac{-256(1 - (-0,0078125))}{1 + 0,5} \)
• \( S_7 = \frac{-256(1 + 0,0078125)}{1,5} \)
• \( S_7 = \frac{-256(1,0078125)}{1,5} \)
• \( S_7 = \frac{-257,5}{1,5} \)
• \( S_7 = -\frac{2575}{15} \)
• \( S_7 = -\frac{515}{3} \)
4. Шаг 4: Представим ответ в виде смешанной дроби.
• \( -\frac{515}{3} = -171 \frac{2}{3} \)

Ответ: \( -171 \frac{2}{3} \)