3. Упростите выражение \(\frac{25a^2-b^2}{4a^2} \cdot \frac{a}{40a-8b}\) и найдите его значение при a=0,5, b=5,5.

Краткая запись:

• Выражение: \(\frac{25a^2-b^2}{4a^2} \cdot \frac{a}{40a-8b}\)
• Найти: Упрощенное выражение и его значение при \( a=0,5, b=5,5 \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим числитель первой дроби на множители (разность квадратов: \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \)).
• \( 25a^2 - b^2 = (5a)^2 - b^2 = (5a-b)(5a+b) \)
2. Шаг 2: Вынесем общий множитель из знаменателя второй дроби.
• \( 40a - 8b = 8(5a-b) \)
3. Шаг 3: Подставим разложенные выражения обратно в исходное.
• \( \frac{(5a-b)(5a+b)}{4a^2} \cdot \frac{a}{8(5a-b)} \)
4. Шаг 4: Сократим дробь.
• \( \frac{(\cancel{5a-b})(5a+b)}{4a^2} \cdot \frac{\cancel{a}}{8(\cancel{5a-b})} \)
• \( \frac{5a+b}{4a \cdot 8} = \frac{5a+b}{32a} \)
5. Шаг 5: Подставим значения \( a=0,5 \) и \( b=5,5 \) в упрощенное выражение.
• \( \frac{5(0,5)+5,5}{32(0,5)} \)
• \( \frac{2,5+5,5}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \)

Ответ: Упрощенное выражение: \( \frac{5a+b}{32a} \). Значение при \( a=0,5 \) и \( b=5,5 \): \( \frac{1}{2} \)