6. Решите систему уравнений { 2log5x+ log5 y = 1, log5x-2log5y = 8. }

Решение:

Обозначим \( a = \log_5 x \) и \( b = \log_5 y \). Тогда система примет вид:

\[ \begin{cases} 2a + b = 1 \\ a - 2b = 8 \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим \( b \):

\[ b = 1 - 2a \]

Подставим во второе уравнение:

\[ a - 2(1 - 2a) = 8 \]\[ a - 2 + 4a = 8 \]\[ 5a = 10 \]\[ a = 2 \]

Теперь найдём \( b \):

\[ b = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3 \]

Вернёмся к исходным переменным:

\[ \log_5 x = a = 2 \implies x = 5^2 = 25 \]\[ \log_5 y = b = -3 \implies y = 5^{-3} = \frac{1}{125} \]

Ответ: \( x = 25, y = \frac{1}{125} \).