6. Решить задачу: Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение задачи

Дано:

• Прямоугольный параллелепипед.
• Стороны основания \( a = 5 \) см, \( b = 12 \) см.
• Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания \( \alpha = 45^{\circ} \).

Найти:

• Площадь полной поверхности \( S_{\text{полн}} \).

1. Находим диагональ основания \( d_{\text{осн}} \):

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами основания:

\( d_{\text{осн}}^2 = a^2 + b^2 \)

\( d_{\text{осн}}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)

\( d_{\text{осн}} = \sqrt{169} = 13 \) см.

2. Находим высоту параллелепипеда \( h \):

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю основания \( d_{\text{осн}} \), высотой параллелепипеда \( h \) и диагональю параллелепипеда \( d_{\text{пар}}\). Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол \( \alpha \).

В этом треугольнике высота \( h \) является катетом, противолежащим углу \( \alpha \), а диагональ основания \( d_{\text{осн}} \) — катетом, прилежащим к этому углу.

\( \tan(\alpha) = \frac{h}{d_{\text{осн}}} \)

\( \tan(45^{\circ}) = \frac{h}{13} \)

\( 1 = \frac{h}{13} \)

\( h = 13 \) см.

3. Находим площадь полной поверхности параллелепипеда:

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

\( S_{\text{полн}} = 2(ab + ah + bh) \)

Подставляем найденные значения:

\( S_{\text{полн}} = 2(5 \cdot 12 + 5 \cdot 13 + 12 \cdot 13) \)

\( S_{\text{полн}} = 2(60 + 65 + 156) \)

\( S_{\text{полн}} = 2(281) \)

\( S_{\text{полн}} = 562 \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна \( 562 \) см².